云南省玉溪一中高二数学下学期期中考试试题 理【会员独享】

发布于:2021-06-21 07:19:46

玉溪一中高 2013 届下学期期中考试 高二数学(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、复数 A. 1

3 ? 2i ?( 2 ? 3i

) B. ?1 C. i ) D. 25 ) D. ?i

2、数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a5 的值是( A. 9 B. 10 C. 16

3、已知 tan ? ? 3 , ? ? ? ? A. ?

3? ,那么 cos ? ? sin ? 的值是 ( 2
C.

1? 3 2

B.

1? 3 2

1? 3 2

D.

?1 ? 3 2

4、设 P 是△ABC 所在*面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0 B. PC ? PA ? 0 C. PB ? PC ? 0

) D. PA ? PB ? PC ? 0 ) D. 511 ) 开始

5、程序框图(即算法流程图)如右图所示,其输出结果是( A. 63 B. 127
2 2

C. 255

a ?1 a ? 2a ? 1

6、直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 被圆 ( x ? 3) ? y ? 9 截得的弦长为( A. 2 2 B. 4 C. 4 2

D. 2



7、5 男生,2 个女生排成一排,若女生不能排在两端但又必须相邻,则不同 的排法有( A.480 ) B.960 C.720 D.1440

a ? 100 ?

输出 a

? 2 x ? y ? 4, ? 8、设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ( ? x ? 2 y ? 2, ?
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值

结束 )

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值 )

9、设 a ? log 1 5, b ? log 1 5, c ? log 2 5, d ? log3 5 ,则 a, b, c, d 的大小关系是(
2 3

A. d ? c ? a ? b

B. d ? c ? b ? a
3 ' 2

C. c ? d ? b ? a
'

D. c ? d ? a ? b )

10、 若函数 f ? x ? ? x ? f ?1? x ? 2x ? 5 ,则 f (2) ? (

A. 2

B.

37 3

C.

5 3
2

D.

22 3
)

11、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积(单位: cm )为 ( A. 48 ? 12 2 C. B. 48 ? 24 2 D. 36 ? 24 2

36 ? 12 2

12、 已知抛物线 C : y ? 2 x 2 上的点 A ? ?1,2? , 直线 l1 过点 A 且与抛物线相切, 直线 l2 :x ? a ? a ? ?1? 交抛物线于点 B , 交直线 l1 于点 D ,记 ?ABD 的面积为 S1 ,抛物线和直线 l1 ,

l2 所围成的图形面积为 S2 ,则 S1 : S2 ? (
A. 2 :1 B. 3 : 2

) C. 4 : 3 D.随 a 的值而变化

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、

?

1

?1

1 ? x 2 dx =

.

14、已知 a ? (sin3,cos3), b ? (0,1) ,它们的夹角为 15、函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值是



16、 某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆内部区域投针 (不包括三角形边界及其外接 圆边界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为 三、解答题(17 题 10 分,其余各题 12 分,共 70 分) 17、设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 sin ? A ? (1)求角A的大小; (2)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值.

? ?

??

? ? cos A . 6?

18、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 4 , an?1 ? 2(an ? n ? 1) , (1)求证:数列 ?an ? 2n? 为等比数 列。 (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? an ? 2n ,求正整数列 n 的最小值。
2

19、对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计, 随机抽取 M 名学生作为样本,得到 这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方 图如下: 频率/组距 分组 频数 频率 a

[10,15) [15, 20)

m
24 4 2

p

n
0.1 0.05 1 0 10 15 20

[20, 25)

[25,30)
合计

25

30 次数

M

(Ⅰ)求出表中 M 、 P 及图中 a 的值; (Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三 学生参加社区服务的次数在区间 [10,15) 内的人数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务 的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社区服务次数在区间 [25,30) 内的 概率.

如图, 多面体 ABCDS 中, 面 ABCD 为矩形,SD ? AD, 且 SD ? AB, AD ? 1, AB ? 2 AD, 20、 (I)求多面体 ABCDS 的体积; (II)求 AD 与 SB 所成角 SD ? 3 AD 。 的余弦值; (III)求二面角 A—SB—D 的余弦值。

21、已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的短轴长等于焦距,椭圆 C 上的点到右焦点 F 的最短距离为 a 2 b2

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 E (2 , 2 ?1. 0) 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与 C 交于 M 、

N 两点, P 是点 M 关于 x 轴的对称点,证明: N、F、P 三点共线.

22、已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (II) o 若函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ,问:m 在什么范围取值时, 对于任意的 t ? [1, 2] ,函数 g ( x) ? x3 ? x2 [

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值? 2

期中考试答案 一、选择 CADBB 二、填空 13、 CBBCD AB

? 2

14、3

15、

3 3 4?

16、

?
6

? 3

三、解答题 17、 (Ⅰ)由已知有 sin A ? cos

?
6

? cos A ? sin

?
6

? cos A ,

故 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 . 又 0 ? A ? ? ,所以 A ? (Ⅱ)由正弦定理得 b ?

?
3

.

a ? sin B 4 a ? sin C 4 ? sin B, c ? ? sin C , sin A sin A 3 3

故b ? c ?

4 3

?sin B ? sin C ? .………………………………8 分

2? 2? 3 3 ? 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin ? ? B ? ? sin B ? sin ? cos B ? cos ? sin B ? sin B ? cos B 3 3 2 2 ? 3 ?

?? ? ? 3 sin ? B ? ? .………………………………10 分 6? ?
所以 b ? c ? 4 sin( B ? 因为 0 ? B ? ∴当 B?

?
6

).

2? ? ? 5? ,所以 ? B ? ? . 6 6 6 3 ?

?
6

?
2

即 B?

?
3

时, sin ?B ?

? ?

??

? 取得最大值1 , b ? c 取得最大值 6?

4. …………12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. ( Ⅱ ) 由 余 弦 定 理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A





4 ? b2 ? c 2 ? bc ,………………………………8 分
2 所以 4 ? (b ? c) ? 3bc ,即 (b ? c) ? 3(
2

b?c 2 ) ? 4 ,……………………………… 10 2



(b ? c)2 ? 16 ,故 b ? c ? 4 .
所以,当且仅当 b ? c ,即 ?ABC 为正三角形时, b ? c 取得最大值4. …………12 18、解:因为 an?1 ? 2(n ? 1) ? 2(an ? 2n) 所以

an ?1 ? 2(n ? 1) ?2 an ? 2n

所以数列 ?an ? 2n? 为等比数列。 (2)

a1 ? 2 ? 2

? an ? 2n ? 2 2n?1 ? sn ? 2n?1 ? 2 ? n2 ? n
可知 n ? 5 时满足条件。

? an ? 2n ? 2n

Sn ? an ? 2n2

4 ? 0.1 ,所以 M ? 40 M m 10 ? ? 0.25 ---4 分 因为频数之和为 40 ,所以 4 ? 24 ? m ? 2 ? 40 , m ? 10 . p ?
19、解(Ⅰ)由分组 [20, 25) 内的频数是 4,频率是 0.1 知,

M 40 24 ? 0.12 ----------6 分 因为 a 是对应分组 [15, 20) 的频率与组距的商,所以 a ? 40 ? 5
(Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组 [10,15) 内的频率是 0.25 , 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. ……----8 分 (Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m ? 2 ? 6 人, 设在区间 [20, 25) 内的人为 ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,在区间 [25,30) 内的人为 ?b1 , b2 ? . 则任选 2 人共有 (a1 , a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1),

(a2 , b2 ),(a3 , a4 ) , (a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(b1, b2 ) 15 种情况, ……10 分 1 14 ? 而两人都在 [25,30) 内只能是 ? b1 , b2 ? 一种,所以所求概率为 P ? 1 ? 15 15
20.解: (I)多面体 ABCDS 的体积即四棱锥 S—ABCD 的体积。 所以 VS ? ABCD ?

1 1 2 3 S ? ABCD ? | SD |? ? 2 ? 1? 3 ? . 3 3 3

II)? 矩形 ABCD, ,即 BC=a, ? AD//BC = ? 要求 AD 与 SB 所成的角,即求 BC 与 SB 所成的角 在 ?SBC 中,由(1)知 SD ? 面 ABCD。

? Rt ?SDC 中, SC ? ( 3 ) 2 ? 2 2 ? 7

? CD 是 CS 在面 ABCD 内的射影,且 BC ? CD,
? SC ? BC

tan?SBC ?

SC 7 ? ? 7, CB 1 2 , 4

? BC 与 SB 所成的角的余弦为

从而 SB 与 AD 的成的角的余弦为

2 4

(III)? ?SAD中SD ? AD, 且SD ? AB,

? SD ? 面 ABCD。

? 面SDB?面ABCD, BD 为面 SDB 与面 ABCD 的交线。
? 过A作AE ? DB与E ? AE ? 面 SDB 又过A作AF ? SB 于 F,连接 EF
从而得: EF ? SB ? ?AFE 为二面角 A—SB—D 的*面角 在矩形 ABCD 中,对角线 BD ? 12 ? 2 2 ? 5,

? 在?ABD 中, AE ?

AB ? CD 1 ? 2 2 5 ? ? BD 5 5
( 7 ) 2 ? 12 ? 8

由(2)知在 Rt ?SBC 中, SB ?

而 Rt?SAD中, SA ? 2, 且AB ? 2.

? SB2 ? SA2 ? AB2 ,
? ?SAB 为等腰直角三角形且 ?SAB为直角 ,

AE 2 ? ? AF ? AB ? 2 ? sin ?AFE ? AF 2
所以所求的二面角的余弦为

2 5 5 ? 10 , 5 2

15 . 5
…………2 分

21、(I)由题可知: ?

? ? 2b ? 2 c ? ?a ? c ? 2 ? 1

解得 a ? 2, c ? 1 ,? b ? 1

?椭圆 C 的方程为 C :

x2 ? y 2 ? 1…………………………4 分 2

(II)设直线 l : y ? k ( x ? 2) , M ( x1, 0) , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , P( x1, ? y1 ) , F (1,

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 .…………6 分 2 ? y ? 1 , ? ?2
所以 x1 ? x2 ? 而

8k 2 8k 2 ? 2 x x ? , . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

……………………8 分

uuu r FN ? ( x2 ? 1, y2 ) ? ( x2 ? 1 , kx2 ? 2k ) uur FP ? ( x1 ? 1, ? y1 ) ? ( x1 ? 1, ? kx1 ? 2k ) ,…………10 分
Q ( x1 ? 1)(kx2 ? 2k ) ? ( x2 ? 1)(?kx1 ? 2k ) ? k[2 x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4]



? 16k 2 ? 4 24k 2 ? ? k? ? 2 ? 4? ? 0 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?
uuu r uur ? FN // FP
∴ N、F、P 三点共线

f ?( x) ?

a ? a( x ? 0) x 1 1? x , ?1 ? x x
…………………………………2 分

(I)当 a ? 1 时, f ?( x) ?

令 f ?( x) ? 0 时,解得 0 ? x ? 1 ,所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增; ……4 分 令 f ?( x) ? 0 时,解得 x ? 1 ,所以 f ( x) 在(1,+∞)上单调递减. ………6 分 (II)因为函数 y ? f ( x) 的图象在点(2, f (2) )处的切线的倾斜角为 45 ,
o

所以 f ?(2) ? 1 .

?2 ? 2 . ………………………………………………8 分 x m 2 m g ( x) ? x3 ? x2 [ ? 2 ? ] ? x3 ? ( ? 2) x2 ? 2x , 2 x 2
所以 a ? ?2 , f ?( x) ?

g ?( x) ? 3x2 ? (4 ? m) x ? 2 ,

……………………………………………10 分

因为任意的 t ? [1, 2] ,函数 g ( x) ? x3 ? x2 [

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值, 2

? g ?(2) ? 0, 所以只需 ? ? g ?(3) ? 0,

……………………………………………………12 分

解得 ?

37 ? m ? ?9 . 3


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